Esta entrada corresponde con el episodio #001 del podcast Ciencia Conjunta, si lo habéis escuchado, perfecto y si no, aún estáis a tiempo. Pero, en cualquiera de los casos, lo que aquí escribo no es tanto un guión de lo que ya dije sino que desarrollo un poco más en profundidad los temas que allí toqué.

En primer lugar, cuando alguien envía un mensaje mediante una transmisión o simplemente cuando escribe un código, por razones obvias le interesa que dicho mensaje pueda ser reproducido de manera totalmente correcta. Sin embargo, siempre existe una probabilidad, por muy pequeña que ésta sea, de que alguno de los caracteres enviados falle, por esto es importante utilizar algunos métodos relacionados con la Teoría de códigos que nos permiten detectar dichos fallos o incluso poder corregirlos.

Éste es el esquema que se lleva a cabo en el proceso de enviar un mensaje, en primer lugar, el emisor codifica el mensaje y, cuando el receptor lo recibe, ha de decodificarlo para obtener el mensaje original. Para evitar alteraciones en el resultado existen varios métodos, uno de ellos es mandar el mensaje repetido dos, tres o más veces, es decir, si queremos enviar la palabra “hola” deberíamos mandar “hhhooolllaaa” para así, si uno de los caracteres falla poder deducir su valor a partir de las dos repeticiones ya que la probabilidad de error suele ser pequeña y por lo tanto no sería muy probable que todas estas repeticiones fuesen erróneas. Otro método para evitar/detectar errores es utilizar al final del mensaje un carácter llamado de paso o de control, su finalidad es dar una información extra del mensaje para que, en caso de haber error, el receptor pueda solventarlo. Los ejemplos más claros de este método son el DNI o el ISBN. En el primer caso partimos de una reducción del alfabeto (se excluyen la O, la I, la U y la Ñ para evitar confusiones con el 0, el 1, la V y la N respectivamente) quedando 23 caracteres en total, a cada una de estas letras le asignamos un número entre el 0 y el 22. Por último lo que hacemos es la operación siguiente:

Donde r es el resto de dividir el número del DNI entre 23 y este resto lo asignamos a la letra correspondiente con lo que nos queda el número del DNI seguido de la letra.

Por otra parte, la criptografía es el arte o la ciencia que se encarga de ocultar los mensajes a personas no autorizadas. Su origen etimológico proviene del griego donde cripto- significa oculto y -grafo escritura. De la misma manera, su origen histórico se remonta aproximadamente al año 400 a.C. en el cual, en la guerra entre Atenas y Esparta, los espartanos utilizaban un bastón llamado escítala en el cual enrollaban en forma de espiral una tira de cuero, escribían el mensaje sobre la tira enrollada y, posteriormente, desenrollaban dicha cinta. De esta forma, la única vía de obtener el mensaje original era volviendo a enrollar la tira sobre un bastón del mismo diámetro que el utilizado.

Pasado algún tiempo, nos encontramos con que, durante el auge del Imperio Romano, Julio César utilizaba su propia forma de cifrar los mensajes para evitar que sus enemigos se hicieran con ellos. Ésta consistía en sustituir cada letra del alfabeto por la situada tres posiciones a la derecha, es decir, si tenemos la palabra HOLA, su resultado sería KRÑD. Su representación analítica sería la siguiente:

Donde x representa la posición de la letra que queremos cifrar. Sin embargo, podemos crear métodos de encriptación más complejos si utilizamos funciones afines o funciones lineales como sería el caso siguiente en el que a y b son números naturales:

Dando una zancada un poco más grande llegamos al último de los métodos que comentaré, el RSA. Debe su nombre a sus tres creadores Ron Rivest, Adi Shamir y Len Adleman. Se trata de un método que utiliza tanto una clave privada como una clave pública. Comenzamos eligiendo dos números primos “p” y “q” y calculamos su producto m=p·q. m es público mientras que p y q son valores privados necesarios para poder descifrar el código, con lo que cuanto mayor sea m, más difícil será de romper el código. Ahora elegimos un número e de forma que cumpla lo siguiente:

Hay que mencionar que:

Y por último necesitamos un número “d” de forma que:

mod

Con todo esto, la clave pública está formada por m y e, mientras que la privada la conforman p,q y d. Sólo nos queda definir por tanto la función que permitirá cifrar el mensaje, la cual es la siguiente:

m

La función inversa que nos permitiría deshacer el cifrado y, por tanto, obtener el mensaje original sería la siguiente:

m

Este cifrado es seguro en la medida en que se desconozca cómo los números primos se distribuyen entre los números naturales, con lo que si pudiésemos saber qué forma tiene dicha distribución el método carecería de sentido. Éste método es muy utilizado sobre todo para el comercio por internet y las claves bancarias, con lo que podría poner en jaque al mundo entero si dejase de ser segura. Por ello grandes empresas como AT&T o HP invierten grandes cantidades de dinero en matemáticos que permitan dar una mejor noción de la distribución de los números primos para poder mantener dicha seguridad.

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Corre el rumor o la leyenda de que hace algunos años se reformuló la ley en Indiana para asignar, por consenso, a pi el valor 3 y no su valor real 3′141592… pues bien, parece que podemos llegar a la misma conclusión que ellos a través de la siguiente demostración.

A la vista de lo obtenido, ¿hasta qué punto podemos estar de acuerdo con el razonamiento? por supuesto que el razonamiento tiene un error, pero ¿cuál? Si no fuese así sería muy sencillo que un número es igual a cualquier otro cambiando el número pi por el número que deseemos. Os dejo a vosotros identificar dicho error.

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Por sugerencia de NicolasaQuidMan quisiera realizar una entrada para explicar el concepto que ella definió como: “la laxa idea de fractal en un espacio métrico”.

Para ello primero debo comentar que un espacio métrico es un concepto topológico. Formalmente un espacio métrico es un conjunto de puntos (X por ejemplo) con una distancia o métrica asociada, es decir, se define el E. M. (espacio métrico) como el par (X,d). Así, los ejemplos más comunes de espacios métricos son:

Que es el plano con la distancia usual

Que es la recta real con la distancia usual

Dicha distancia se define de la siguiente forma:

para todo punto del plano, se corresponde con la distancia entre dos puntos entendida como la mínima distancia entre ellos, el segmento de menor longitud que los une. Así, por ejemplo la distancia entre los puntos (2,3) y (3,5) sería:

De esta forma, ya nos podemos centrar en el plano con la distancia usual que es el que nos interesará en la mayor parte de los casos para lo aquí tratado. Entonces ya podemos dar una definición de fractal tal y como se ha hecho antes como cualquier conjunto compacto no vacío perteneciente a dicho E.M. Ahora nos queda concretar la idea de conjunto compacto que es equivalente a decir que dicho conjunto es cerrado y acotado, intuitivamente lo podemos entender como un conjunto que contiene a todos los puntos de la frontera y que está contenido dentro de un círculo de radio menor que infinito. Aunque pueda parecer una definición muy abstracta, todos los polígonos cerrados cumplen dicha definición.

Si ampliamos el concepto al espacio en tres dimensiones, los conjuntos compactos serían todos aquellos cuerpos cerrados (contienen a su frontera) que se pueden introducir en una esfera de radio finito y, por tanto, un cubo, una esfera, una pirámide o cualquier poliedro serían conjuntos compactos. De forma que cumplirían dicha definición de fractal.

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Llevo apenas unos meses estudiando Teoría de fractales, una de las optativas de la carrera, y para no perder la costumbre dedicaré mi primera entrada oficial del blog a estos conjuntos tan peculiares. Para comenzar, por tradición más que nada, el concepto de fractal se asocia a una figura autosemejante o autosimilar, esto es, que la estructura de la misma es idéntica si hacemos un zoom de la misma. Algunos ejemplos comunes de fractales en el día a día podrían ser los copos de nieve, el romanescu o los relámpagos. Sin embargo, matemáticamente no existe una definición tan precisa de qué es un objeto fractal, sino que para estudiarlos entendemos como fractales de un espacio métrico a todos los subconjuntos compactos no vacíos de dicho conjunto. Aclarando un poco más este concepto, denotaremos K(X) a todos los conjuntos cerrados y acotados del espacio métrico X (un espacio métrico es un espacio definido con una métrica o distancia, usualmente trabajamos en el plano euclídeo, que corresponde al plano bi-dimensional con la distancia tradicional correspondiente a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados). Asimismo, con esta definición de fractal, tú, yo y cualquier objeto sólido en general será un fractal en el espacio tridimensional.

Sin embargo, en esta entrada he decidido centrarme en las curvas que llenan el espacio (space-filling curves en inglés), éstas son curvas un tanto atípicas si podemos acaso concederles la categoría de curvas como podréis comprobar posteriormente. Estas curvas que llenan el espacio son estudiadas por el Análisis Matemático principalmente y definidas como curvas que contienen el cuadrado unidad [0,1]x[0,1] completamente aunque se puede generalizar el concepto para dimensiones superiores y para superficies distintas aplicando transformaciones lineales y/o rotaciones. Para simplificar un poco el concepto, o acercarlo a un público mayor, es como si cogiésemos una hebra de un hilo muy fino y fuésemos rellenando un cuadrado con ella. En general, las curvas, por ser unidimensionales, no encierran un área y, en cambio, en este caso particular no es difícil admitir que éstas sí que lo hacen, exactamente el área de la región que cubren.

Históricamente deberíamos remontarnos a finales del siglo XIX para encontrarnos las primeras curvas de este tipo, más concretamente a 1890, cuando Peano dio la curva que lleva su nombre como contra-ejemplo a la hipótesis de que una curva puede encerrarse en un conjunto tan pequeño como queramos. Obviamente después de lo visto no es posible, pero, ¿cómo es esta curva? Lo que normalmente aparece en todos los lugares como curva de Peano no es en sí dicha curva, sino que es una iteración concreta, sin embargo, la curva en sí se obtiene al iterar una función que va del intervalo [0,1] al cuadrado unidad. Carece de sentido exponer aquí la forma de dicha función pues lo que nos interesa es el resultado de iterarla infinitas veces. Como cabía esperar, al realizar este proceso tantas veces como queramos, la curva que vamos obteniendo se acercará en forma a dicho cuadrado que pretendíamos llenar con nuestro fino hilo. De hecho, si pudiésemos con un ordenador dibujar las infinitas iteraciones, lo que obtendríamos sería el cuadrado, una mancha negra en forma de cuadrado que poco tiene de curva y algo más de superficie o sección del plano.

Esto mismo ocurre con otras curvas como la de Hilbert, que no es sino el cuadrado unidad pero recorrido por una curva definida de una forma distinta. Dos cuestiones curiosas que nos permite afirmar toda la teoría de fractales es que dicha curva es continua en todos los puntos del cuadrado y que es sobreyectiva en dicho punto, esto significa que todo punto del cuadrado tiene su lugar en la curva.

Quizá lo más sorprendente es que, con una curva de infinita longitud de dimensión uno podemos cubrir un área totalmente, sobre todo teniendo en cuenta que las curvas son grosso modo hilos infinitesimalmente finos. En otra ocasión trataré de contar en profundidad otros conceptos similares como el conjunto de Cantor, hasta entonces otras entradas llegarán. Un saludo a todos y cualquier duda, sugerencia o queja será totalmente bienvenida.

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